Makalah Kalkulus

KATA PENGANTAR

            Segala puji dan syukur senantiasa kita panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena rahmatnyalah kita masih diberi kehidupan yang sejahtera. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada jungjungan besar kita Habibana Wanabiyana Muhammad SAW, karena binmbingannyalah kita bisa berjalan pada jalan yang diridoi Allah SWT.

Dan saya mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua yang senantiasa memberikan dukungan nya serta do’anya.Dan tak lupa juga saya ucapkan terima kasih kepada Dosen kalkulus.yang telah memberikan arahannya sehingga makalah ini bisa diselesaikan pada waktu yang telah ditetukan.

Mudah-mudahan dengan telah selesainya makalah ini dapat bermanfaat kususnya bagi saya sendiri dan umunya bagi mahasiswa dan mahasiswi yang sedang mencari pendidikan di perguruan tinggi Indonesia. Dan mudah-mudahan dapat memberikan pengaruh yang positif sehingga generasi penerus bangsa ini menjadi ebih paham dan bermoral dan juga menjadi manusia yang berguna bagi bangsa dan negara.Terima kasih.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR                                                                                      
DAFTAR ISI                                                                                                      
BAB I PENDAHULUAN                                                                                 

A.    Latar Belakang Masalah                                                                          

B.     Rumusan Masalah                                                                                    

BAB II PEMBAHASAN

A.    Pengertian Kalkulus                                                                                 

B.     Prinsip-Prinsip Dasar Kalkulus                                                                

a.       Turunan                                                                                              

b.      Integral                                                                                               

C.     Bentuk-Bentuk Kalkulus                                                                         

a.       Manipulasi Digit                                                                                

b.      Generalisasi                                                                                        

D.    Pengembangan Kalkulus                                                                          

a.       Kalkulus Dalam Dunia Pendidikan                                                   

b.      Kalkulus Dunia Popule                                                                      

BAB III  KESIMPULAN                                                                                  
DAFTAR PUSTAKA                                                                                       

                                                            BAB I
                                                  PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang Masalah

Mata kuliah kalkulus diperguruan tinggi merupakan sumber nilai dan pedoman dalam pengembangan dan penyelengaraan program studi,guna mengantarkan mahasiswa memantapkan kpribadiannya sebagai manusia seutuhnya. Hal ini berdasarkan pada suatu realitas yang dihadapi, bahwa mahasiswa adalah sebagai generasi bangsa yang harus memilki visi inteletual, religius, berkeadaban, berkemanusiaan dan cinta tanh air dan bangsanya.

            Kalkulus adalah mata kuliah ysng berguna untuk membantu mahasiswa memantapkan kepribadiannya, agar secara konsisten mampu mewujudkan nilai-nilai dasar matematika untuk menerapkan,mengembangkan bakat dan keahlian (skill),karena ilmu ini bisa membawa kita menuju masa depan yang cerah dan mempunyai rasa tanggung jawab dan bermoral.

            Arkhir-akhir ini adapula beberapa penelitian yang dilakukan oleh para ahli kalkulus terhadap aktivitas pedagang-pedagang di kota.yang kadang-kadang meliputi daerah distribusi yang luas,tetapi biasanya para ahli kalkulus membatasi diri terhadap aktivitas perdagangan yang berdasarkan volume modal yang terbatas.di Indinesia misalnya ada ahli kalkulus yyang mempelajari pedagang-pedagang kaki lima,atau para pedagangf pasar yang membawa barangf dari singapura ke medan atau Jakarta.

            System ekonomi yang berdasarkan industri memang tidak menjadi perhatian para ahli kalkulus atau ahli matematika,dan merupaka lapangan para ahli ekonomi sepenuhnya.karena para ahli kalkulus hanya mempelajari hal-hal seperti: aspek kehidupan kaum buruh yang brasal dari daerah pedeasaan atau kota dalam industri,atau pengaruh industri terhadap daerah lainnya.

B.     Rumusan masalah

Makalah ini memiliki berbagai masalah yang perlu diselesaikan dalam rumusan masalah adalah sebagai berikut

1.      apa yang dimaksud dengan pengertian kalkulus

2.      apa yang dimaksud dengan prinsip-prinsip dasar kalkulus:

a.       turunan

b.      Integral

3.      apa yang dimaksud dengan bentuk-bentuk kalkulus

a.       manipulasi digit

b.      generalisasi

4.      apa yang dimaksud dengan pengembangan kalkulus

a.       kalkulus dalam dunia pendidikan

b.      kalkulus dalam dunia popular

C.    Tujuan Masalah

Makalah diatas tadi mempunyai tujuan sebagai berikut:

1.      untuk mengetahui pengertian kalkulus

2.      untuk mengetahui prinsip-prinsip dasar kalkulus:

3.      untuk mengetahui bentuk-bentuk kalkulus

4.      untuk mengetahui pengembangan kalkulus

                                                BAB II

                                       PEMBAHASAN

A.    Pengertian Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil" untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung, Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.

B.     Prinsip Dasar Kalkulus

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya. Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah: Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

a.       Turunan

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

……..

b.      Integral
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

C.    Bentuk-Bentuk Kalkulus

Kalkulus merupakan sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi Fisika daneknik (Engineering).  Dalam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain:

1.      Differensial

2.      Integral

3.      integral dan diferensial terapan

4.      dll.

Pada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkan oleh kita adalah angka-angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kita dan tak jarang pula terpikirkan oleh kita bahwa untuk apakah kita mempelajari kalkulus? Oleh karena itu dalam makalah ini akan dijelaskan sedikit tentang guna kalkulus bagi kehidupan sehingga kita dapat melihat kalkulus sebagai suatu yang menyenangkan dan dapat membimbing kita.

a.       Manipulasi digit

Bentuk pembuktian lainnya menggunakan desimal berulang lainnya. Ketika sebuah bilangan dalam notasi desimal dikalikan dengan 10, digit itu tidak akan berubah, namun pemisah desimal akan berpindah satu digit ke kanan. Sehingga 10 x 0,999… sama dengan 9.999….
Pengurangan 0,999… dari 9,999… dapat dilakukan secara digit per digit; di setiap digit setelah pemisah desimal, hasil 9-9 adalah 0. Namun nol yang berulang-ulang ini tidak akan mengubah sebuah bilangan, sehinggi perbedaannya adalah persis 9. Langkah akhirnya kemudian menggunakan aljabar. Misalnya bilangan desimal yang dipertanyakan (0.999…) disebut x. Maka 10x − x = 9. Ini adalah sama dengan 9x = 9. Pembagian kedua sisi oleh 9 menyelesaikan pembuktian: x = 1.[1]

Validitas manipulasi digit pada bukti di atas tidak perlu dianggap sebagai sebuah aksioma; ia mengikuti hubungan dasar antara desimal dengan bilangan yang ia representasikan. Hubungan ini, yang dapat dikembangkan menjadi beberapa cara yang setara, telah membentuk hubungan desimal 0,999… dan 1,000... mewakili bilangan yang sama.

b.      Generalisasi
Hasil 0,999… = 1 dapat digeneralisasi ke dalam dua cara. Pertama-tama, setiap bilangan bukan nol dengan notasi desimal terhingga (atau dengan kata lain akhiran 0 takhingga) memiliki kembaran dengan akhiran 9 takterhingga. Sebagai contoh, 0,24999… persis sama dengan 0,25. Bilangan-bilangan ini merupakan persis pecahan desimal yang sama dan bilangan-bilangan ini rapat.[21]

Kedua, teorema yang terbandingkan dapat diterapkan pada setiap bilangan pokok (basis). Sebagai contoh, dalam basis 2 (sistem bilangan biner), 0,111… sama dengan 1, dan dalam basis 3 (sistem bilangan terner) 0,222… sama dengan 1. Buku-buku teks analisis real biasanya akan mengabaikan contoh 0,999… dan sebaliknya memberikan contoh-contoh generalisasi ini dari awalnya.

Generalisasi yang paling jauh mengalamatkan sistem bilangan posisional yang paling umum. Sistem-sistem ini juga mempunyai banyak representasi. Sebagai contoh:
• Dalam sistem terner berimbang, 1/2 = 0,111… = 1,111….
• Dalam sistem faktoradik, 1 = 1,000… = 0,1234….
Marko Petkovšek telah membuktikan bahwa ambiguitas ini merupakan konsekuensi yang perlu dalam penggunaan sistem posisional: untuk sistem penamaan semua bilangan real apapun, himpunan bilangan real dengan representasi berganda selalu rapat.

D.    Pengembangan kalkulus

Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna/ bermanfaat, dengan mempelajari kalkulus banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . Oleh karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap kalkulus. Kita ubah pandangan kita yang menganggap kalkulus adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap kalkulus adalah pelajaran yang mengasyikan dan menyenangkan.
Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari kalkulus antara lain: menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar individu dan masih banyak lagi yang lainnya

a.       Kalkulus dalam dunia pendidikan

Para siswa matematika sering menolak persamaan 0,999… dengan 1 oleh karena berbagai alasan, mulai dari penampilan kedua angka yang berbeda sampai dengan ketidakpercayaan terhadap konsep limit dan ketidaksetujuan terhadap sifat-sifat infinitesimal. Terdapat banyak faktor yang berkontribusi pada kebingungan ini:

a)      Para siswa sering percaya terhadap nosi bahwa sebuah bilangan hanya dapat diwakili oleh satu dan hanya satu cara dengan menggunakan sebuah bilangan desimal. Keberadaan dua bilangan desimal yang berbeda namun mewakili bilangan sama seolah-olah seperti paradoks, terlebih lagi diperkuat oleh tampilan bilangan 1 yang kelihatannya sudah sangat dimengerti.

b)      Beberapa siswa menginterpretasikan 0,999…(atau notasi yang sama) sebagai untaian 9 yang sangat banyak, namun terhingga dengan panjang yang tidak ditentukan. Jika mereka menerima sebuah untaian 9 yang takhingga, mereka masih mengharapkan keberadaan 9 terakhir di ketakterhinggaan

c)      Intuisi dan pengajaran yang rancu membuat siswa berpikir bahwa limit barisan sebagai sejenis proses takhingga daripada sebagai sebuah nilai yang pasti oleh karena sebuah barisan tidak perlu memiliki limitnya. Siswa-siswa yang menerima perbedaaan antara barisan bilangan dengan limitnya kemungkinan akan menginterpretasikan 0,999…sebagai sebuah barisan daripada limit barisan itu sendiri.

d)     Beberapa siswa menganggap 0,999… memiliki nilai yang pasti yang lebih kecil daripada 1 dengan perbedaan yang sangat kecil takhingga dengan nilai bukan nol.

e)      Beberapa siswa percaya bahwa nilai deret konvergen hanyalah pendekatan, bahwa .

Pemikiran-pemikiran ini merupakan pemikiran yang salah dalam konteks bilangan real standar, walaupun mungkin beberapa pemikirin ini absah dalam sistem bilangan yang lainnya.

Kebanyakan penjelasan-penjelasan ini ditemukan oleh Profesor David Tall yang mempelajari karakteristik pengajaran dan pengenalan yang menyebabkan beberapa kesalahpahaman yang dia temui pada murid-murid universitasnya. Setelah menanyai murid-muridnya untuk mengetahui mengapa mayoritas besar pada awalnya menolak persamaan ini, ia menemukan bahwa siswa terus membayangkan 0,999… sebagai sebuah barisan bilangan yang semakin mendekati 1 dan bukanlah nilai yang pasti, karena 'anda belum menentukan seberapa banyak tempat desimal yang ada' atau 'ia merupakan bilangan desimal yang memungkinkan yang paling dekat dengan 1.

b.      Kalkulus dalam dunia popular

Dengan berkembangnya internet, debat mengenai 0,999… telah keluar dari ruangan kelas dan merupakan hal yang umum terlihat dalam newsgroup dan forum internet, termasuk pula banyak yang sebenarnya tidak berhubungan dengan matematika. Dalam newsgroup sci.math, perdebatan mengenai 0,999… merupakan olahraga yang populer, dan ia merupakan salah satu pertanyaan yang dijawab dalam FAQ situs tersebut.[38] Bagian FAQ secara singkat mencakup pembuktian menggunakan 1⁄3, perkalian dengan 10, dan limit, serta juga menyinggung barisan Cauchy.

Kolom surat kabar The Straight Dope edisi 2003 mendiskusikan 0,999… via 1⁄3 dan limit, dan mengenai miskonspesi ini berkata,Hewan primata yang lebih rendah di antara kita masih saja menolak, mengatakan ,999~ tidaklah benar-benar mewakili sebuah bilangan, namun proses. Untuk menemukan sebuah bilangan kita harus menghentikan proses tersebut, dengan begitu hal ,999~ = 1 ini runtuh. Omong kosong.
Permasalahan 0,999… juga tampaknya merupakan topik yang populer dalam tujuh tahun pertama forum Battle.net Blizzard Entertainment, sehingga perusahaan tersebut mengeluarkan sebuah siaran pers pada April Mop tahun 2004 bahwa 0,999… adalah:
Kami sangat senang mengakhiri subjek diskusi ini untuk selamanya. Kami telah menyaksikan kepiluan dan kepedulian terhadap masalah apakah ,999~ iya atau tidak sama dengan 1, dan kami bangga bahwa pembuktian berikut akhirnya dan secara konklusif mengalamatkan isu ini untuk para pelanggan kami.

                                                            BAB III

                                                         PENUTUP

A.    Kesimpulan

a.       Kalkulus adalah: sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi Fisika dan Teknik (Engineering).

b.      Prinsip-prinsip dasar kalkulus adalah: perkembangan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil yang tak terhingga.

c.       Bentuk-bentuk kalkulus adalah: Dalam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain:

1.      Differensial

2.      integraldan

3.      diferensial terapan

Pada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkan oleh kita adalah angka-angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kita dan tak jarang pula terpikirkan oleh kita

d.      pengembangan kalkulus adalah: Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna/ bermanfaat, dengan mempelajari kalkulus banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . Oleh karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap kalkulus

DAFTAR PUSTAKA

http://www.space.com/spacelwatch/sun_cam_animated.html
http://www.w3.org/1999/xhtml
http://www.joomla.org
http://id.wikepedia.com
http:// Indonesia.org.com

http:// id.pengetahuan.co.id

http://binasetya.co.id
http://bobbyfiles.wordpers.com